jQuery UIの拡張されたエフェクト機能 effectメソッドを使って、２つの要素の間を移動するようなtransferエフェクトをかけることができます。

［テキスト移動］ボタンをクリックすると、Aのエリアのテキストがtransferエフェクトをともなって、Bのエリアに移動します。［戻す］ボタンをクリックすると、その逆になります。